Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu của nó
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ chiếm nhiều giá trị dư thừa bổ sung trong toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 cho thấy, băng thông mã của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, băng thông mã của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, băng thông mã của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng băng thông mã 32bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường đi mở rộng của STARKs
| Đại số | Độ rộng mã hóa | Thực hiện đại diện |
|------|----------|------------|
| Thế hệ 1 | 252bit | StarkWare |
| Thế hệ thứ 2 | 64bit | Plonky2 |
| Thế hệ thứ 3 | 32bit | BabyBear |
| Thế hệ thứ 4 | 1bit | Binius |
So với các miền hữu hạn mới được phát hiện trong những năm gần đây như Goldilocks, BabyBear và Mersenne31, nghiên cứu về miền nhị phân có thể truy nguyên đến những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an toàn và tính khả dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan đến phép tính Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần thao tác trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã hóa.
Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo để xử lý hai vấn đề này, và đạt được điều đó bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài mỗi chiều của siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể xem siêu khối như một hình vuông ( square ), từ đó thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao hiệu suất mã hóa và tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua tương tác với người xác minh, giúp người xác minh xác minh xem tính toán có chính xác hay không chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý khác nhau đối với các biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn thông tin khác của đa thức. Một số chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và phạm vi ứng dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong Elliptic phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh có các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
Halo2: được kết hợp từ PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Khi thiết kế Halo2, chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
Plonky2: Sử dụng PLONK PIOP kết hợp với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được hiệu suất đệ quy cao. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an ninh của hệ thống. Việc lựa chọn các kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập tin cậy, cũng như có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn của nó. Đầu tiên, việc tính toán dựa trên miền nhị phân kiểu tháp (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho các phép tính của nó, có thể thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) của mình đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức đã giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả việc xác thực các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã áp dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: toán tử hóa dựa trên towers of binary fields
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và tính toán hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quá trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc tính này, cộng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp tới một phần tử của trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, nơi không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong số bit đã cho. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng một cách duy nhất với một phần tử của trường, trong khi trường nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một như vậy. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm thường gặp bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các trường hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Implementations Trường Số Nguyên Tố vs. Trường Nhị Phân" chỉ ra rằng trường nhị phân không cần phải đưa vào phép cộng trong cả phép cộng và phép nhân, và phép bình phương trong trường nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong bối cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Ngoài ra, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" khám phá độ phức tạp tính toán của các phép nhân, bình phương và tìm nghịch đảo trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------适用于二进制域
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi, được sử dụng để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: xác minh chứng nhận bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán học của mạch C(x, ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là mối quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán về sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác thực giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo một số giá trị nằm trong phạm vi đã chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên siêu khối Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên siêu khối Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc đưa vào số ngẫu nhiên, tạo ra tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác nhận độ chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 trên siêu lập phương, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách chuyên biệt hóa giá trị đó thành 1, do đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề không bằng không của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị nhân nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có tính năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này giúp Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức.
Binius: STARKs tối ưu trên miền nhị phân
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu của nó
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ chiếm nhiều giá trị dư thừa bổ sung trong toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 cho thấy, băng thông mã của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, băng thông mã của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, băng thông mã của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng băng thông mã 32bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường đi mở rộng của STARKs
| Đại số | Độ rộng mã hóa | Thực hiện đại diện | |------|----------|------------| | Thế hệ 1 | 252bit | StarkWare | | Thế hệ thứ 2 | 64bit | Plonky2 | | Thế hệ thứ 3 | 32bit | BabyBear |
| Thế hệ thứ 4 | 1bit | Binius |
So với các miền hữu hạn mới được phát hiện trong những năm gần đây như Goldilocks, BabyBear và Mersenne31, nghiên cứu về miền nhị phân có thể truy nguyên đến những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an toàn và tính khả dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan đến phép tính Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần thao tác trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã hóa.
Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo để xử lý hai vấn đề này, và đạt được điều đó bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài mỗi chiều của siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể xem siêu khối như một hình vuông ( square ), từ đó thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao hiệu suất mã hóa và tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua tương tác với người xác minh, giúp người xác minh xác minh xem tính toán có chính xác hay không chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý khác nhau đối với các biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn thông tin khác của đa thức. Một số chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và phạm vi ứng dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong Elliptic phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh có các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
Halo2: được kết hợp từ PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Khi thiết kế Halo2, chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
Plonky2: Sử dụng PLONK PIOP kết hợp với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được hiệu suất đệ quy cao. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an ninh của hệ thống. Việc lựa chọn các kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập tin cậy, cũng như có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn của nó. Đầu tiên, việc tính toán dựa trên miền nhị phân kiểu tháp (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho các phép tính của nó, có thể thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) của mình đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức đã giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả việc xác thực các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã áp dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: toán tử hóa dựa trên towers of binary fields
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và tính toán hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quá trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc tính này, cộng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp tới một phần tử của trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, nơi không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong số bit đã cho. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng một cách duy nhất với một phần tử của trường, trong khi trường nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một như vậy. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm thường gặp bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các trường hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Implementations Trường Số Nguyên Tố vs. Trường Nhị Phân" chỉ ra rằng trường nhị phân không cần phải đưa vào phép cộng trong cả phép cộng và phép nhân, và phép bình phương trong trường nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong bối cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Ngoài ra, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" khám phá độ phức tạp tính toán của các phép nhân, bình phương và tìm nghịch đảo trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------适用于二进制域
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi, được sử dụng để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: xác minh chứng nhận bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán học của mạch C(x, ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là mối quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán về sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác thực giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo một số giá trị nằm trong phạm vi đã chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên siêu khối Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên siêu khối Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc đưa vào số ngẫu nhiên, tạo ra tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác nhận độ chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 trên siêu lập phương, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách chuyên biệt hóa giá trị đó thành 1, do đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề không bằng không của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị nhân nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có tính năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này giúp Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức.
![Bitl